Apuntes y Argumentos para deslindar una
polémica[1]
Luis Alberto Pacheco
Mandujano[2]
Una discusión ha sobrevenido, a propósito de la
experiencia docente, en el tema conceptual del término "proposición": ¿Debe o no
considerarse a la ecuación algebraica dentro del marco general de la definición
universal de la proposición lógica? Y la discusión ha devenido, en los últimos
tiempos, por la aguda contradicción que se ha generado, al menos en la
Universidad Nacional del Centro del Perú y en su Centro de Estudios
Preuniversitarios, en un tema que, por interés privativo y por obligación
científica, no puede seguir pasando más por alto.
La docencia en la Universidad, como
práctica cotidiana de la plasmación de los conocimientos teóricos, implica un
doble proceso bastante conocido por todo buen maestro: el de
aprendizaje-enseñanza. Aseguramos, contundentemente, que sólo puede enseñar
aquél que ha aprendido, aprehendido –en el sentido lato del término
aprehensión– y comprehendido bien, porque son éstos, precisamente, los
elementos que construyen la
experiencia en los de la materia universitaria. Por eso mismo, es de compartir
la sentencia latina que aquí repetimos: experientia est optima rerum magistra[3].
Es ley general.
Bajo este contexto, exorcizados de toda diatriba y
liberados de cualquier forma de vana soberbia, podemos asegurar que para
enseñar, nosotros, hemos cumplido con esa conditio
sine qua non antedicha como sentencia y que vamos llevados de la mano del
avance científico, a la par de haber aprendido, aprehendido y comprehendido, también, lo suficiente como para poder responder a la
pregunta que se propone como título de este opúsculo, con una también
contundente respuesta afirmativa.
"La
ecuación algebraica sí es una proposición lógica", decimos con mucha
seguridad, teniendo como base, para ello, los propios argumentos clásicos que,
en sí mismos, guardan un profundo sentido dialéctico superador, que, además,
devienen de otras tantas preguntas, que vienen a ser las siguientes:
1.- ¿Qué
es una proposición?
En el siglo IV a.n.e., los megáricos, devenidos
estoicos después, definieron a la proposición desde el punto de vista
sintáctico –claro, esto ya lo entendemos ahora– como una aseveración que,
informando algo, podía ser considerada como verdadera o falsa. Crisipo,
inclusive, con dicha acepción, había llegado hasta diferenciar proposiciones
simples de proposiciones complejas.
Bertrand Russell, veinticuatro siglos más tarde, en
1948, con la publicación de su libro "El
conocimiento humano, su alcance y sus límites", básicamente sobre la
misma estructura, retomará aquel concepto que de proposición nos legaron los
estoicos, al señalar que el lenguaje humano, correspondiente total de la
realidad, está formado por dos tipos de proposiciones: las atómicas –cuya
verdad o falsedad viene determinada por su correspondencia empírica entre lo
que tal proposición dice y la realidad que referiere– y las moleculares
–agrupación de proposiciones atómicas cuya verdad, se determina por
procedimientos lógicos.
Más adelante, en su "Tractatus logico-philosophicus" [4],
Ludwig Wittgenstein dirá: "El mundo
es la totalidad de los hechos. El mundo se divide en hechos" (Tractatus..., 1.1. y 1.2.), donde los
hechos más simples y sencillos –como bien señala Baigorri en su "Historia de la Filosofía"
(página 245) al comentar al guía del Wienner
Kreis[3]–
son los atómicos. El mismo Wittgenstein, al respecto, señalará que "la proposición es una figura de la
realidad" (Tractatus...,
4.1), realidad que conocemos y expresamos a través del lenguaje por ser éste el
instrumento materializador del pensamiento humano que no es otra cosa sino el
reflejo de la realidad objetiva.
Por la tremenda influencia de estas ideas, se mantuvo
un profundo interés por las proposiciones atómicas, porque, en palabras del
mismo Russell, "la realidad está
formada por un conjunto de hechos atómicos que nos dicen que alguien –o
algo– posee una propiedad determinada o
que existe una relación entre dos partículas".
En los últimos años de la década final del siglo que
nos vio nacer, el concepto de proposición, por cierto, se ha nutrido, tanto de
la iniciativa de Russell cuanto del mismo desarrollo que del tema ha hecho
Wittgenstein. Así, el moderno concepto de proposición, de finales de siglo,
siguiendo aquí al maestro Luis Piscoya Hermoza (U.N.M.S.M.) en nuestro país,
reza que la proposición es toda aseveración o sentencia, y no
enunciado exclamativo ni expresivo, que afirma o que niega algo de
alguien o de algo y que, con sentido, puede ser verdadera o falsa.
Esto último quiere decir que para que una aseveración
se convierta en proposición, no basta que de ella puédase decir que contiene
información verdadera o falsa. No. Sino que, más bien, esa propiedad de ser
verdadera o falsa de la aseveración debe provenir de su contenido expresado con
sentido, lógico, por supuesto.
Así entonces, como bien indica Francisco Miró-Quesada
Cantuarias, dos son, por tanto, las propiedades de una proposición: primero,
que ella significa algo, esto es, que tenga sentido; y, segundo, que por
significar algo, ella misma puede ser verdadera o falsa. Nosotros podemos
agregar, como definición muy personal, que el ser de la proposición (su ser alético) deviene de su propia
significación puesto que en ella encontramos, precisamente, el reflejo de la
realidad.
Esta nueva definición contiene, por ser científica,
y, más aún, lógico-filosófica, un carácter de aplicación universal. Nada, mucho
menos la matemática, para el caso en cuestión, puede, por el momento, escapar a
ella. Tal es así que, verbi gratia,
al propio nivel de la geometría, don José Santiváñez Marín ha dicho sobre la
proposición, en su libro "Geometría
Plana y del Espacio" (4ta. edición aumentada y corregida, Corgráfica
S.A., Lima, Perú, 1992, página17), que "es
la enunciación de una verdad demostrada o
que debe demostrarse", esto último dentro del marco del
sentido lógico, claro está, pues no se entiende que se involucre cosa distinta.
Por eso mismo es que, dentro de la clasificación más especializada de
proposiciones, también encontramos las denominadas proposiciones hipotéticas que son aquellas cuyo valor veritativo no
puede demostrarse o determinarse en forma actual, por diversas circunstancias,
pero que, en definitiva, sí puede ser alcanzado porque, al fin y al cabo, tal
valor veritativo, como ya dijo Santiváñez, debe
demostrarse.
Sobre esto último podemos citar la siguiente muestra:
"Luis Pacheco será diputado en
2006". En el caso propuesto queda claro que no podemos afirmar
tajantemente en este momento que dicha proposición sea verdadera o falsa pues
no es expresión de la realidad actual; sin embargo, sabido es que en nuestro
caso, donde existe una aspiración de naturaleza política, y aún cuando ella no
exista, la proposición será demostrada como verdadera o falsa al término de las
elecciones generales del año 2006, momento en el cual, si llegase a ser elegido
representante popular, podremos responder al cuestionamiento diciendo que la
proposición propuesta era verdadera;
y, si, contrario sensu, no soy
elegido, tendremos que concluir diciendo que la proposición era falsa. El hecho es que el valor
veritativo es alcanzado al final.
Pero, ¿qué pasa si muero antes de la realización de
las elecciones antedichas? o ¿qué si se produce un golpe de Estado que impida
tales elecciones? Pues entonces, si alguno de estos hechos llega
lamentablemente a suceder –cosa que espero no llegue a ser–, queda claro que,
por tales circunstancias, al no ser ya definitivamente la proposición, en esos
momentos, expresión correlativa de la realidad, de ella podremos decir entonces
que es una proposición falsa.
Proposiciones hipotéticas como las de este ejemplo no
son otra cosa más que la plasmación material del juicio, juicio hipotético, para ser más concretos en el presente asunto, y
que, como siempre se concluye, por ser una de las formas del pensamiento,
resulta de la relación de conceptos que son el reflejo del mundo objetivo, del
mundo concreto, y que después se proyecta en el tiempo. A propósito del tema,
Rosental-Iudin, en su “Diccionario
Filosófico” (Ediciones Universo, Lima – Perú, 1998, página 254), nos dicen
sobre tal juicio hipotético, ya en su forma material de proposición hipotética, que “objetivamente
es o bien verdadera o bien falsa, aunque
todavía no haya sido demostrada ni refutada”.
En todo caso, y en conclusión, la proposición que nos
ocupa ahora, y, en general, toda proposición, sea ésta cuales fuera, no puede
quedar jamás, por ningún motivo, sin el reconocimiento de su propiedad
fundamental que es la de aleticidad,
llamada también propiedad bivalente.
Y esto porque la proposición refleja, materialmente, un juicio mental del cual
procede.
2.- Proposiciones
Simples o Atómicas.
Siguiendo la línea esencial que sobre las
proposiciones atómicas nos dan Russell y Wittgenstein, plasmada ya líneas
arriba, sólo queda indicar que –sin mencionar por ahora las proposiciones
analíticas y sintéticas, expresión material lingüística de los juicios
kantianos– existen básicamente dos clases de estas proposiciones: las atómicas
predicativas y las atómicas relacionales.
Llamamos proposiciones atómicas predicativas a
aquellas que constan de un solo sujeto o término menor y un predicado o término
mayor que califica al anterior, como por ejemplo cuando decimos: "Luis Antonio es Ingeniero
Químico" o "La política
económica del Perú ha continuado manteniendo la misma situación de
subordinación al imperialismo norteamericano que ostenta los Estados Unidos de
Norteamérica".
Por su parte, es proposición atómica relacional
aquella que tiene dos o más sujetos o términos menores relacionados por un
mismo y solo predicado o término mayor, y que, a pesar de la pluralidad de
sujetos, la proposición no puede descomponerse; como, por ejemplo: "Víctor y Beatriz son hermanos",
"Rocío, Jorge y Julia son
vecinos", "César es mayor
que José". En estos casos no existe manera de descomponer, sin que
pierda sentido, la proposición.
3.- ¿Qué
es una ecuación?
Con excepciones conocidas y comunes, se define
generalmente a la ecuación algebraica como una igualdad de dos relaciones
reales R y S, cuya intersección no es nula (R Ç S ¹ Æ), teniendo como cardinal un número entero positivo:
n(R Ç S) Î Z+; como por ejemplo:
6x + 7 = x + 12
En este caso las expresiones algebraicas relacionadas
por la igualdad vienen a ser ( 6x + 7 ) y ( x + 12 ), donde el valor numérico
representado por la variable indeterminada x es igual para ambos casos y
genera, asimismo, la igualdad de ambas relaciones o términos de la ecuación; y,
en el presente caso, podemos afirmar, que x
= 1.
4.- ¿La
ecuación algebraica es una proposición?
Dos sólidos argumentos nos facultan a responder a la
pregunta con un lacónico pero contundente sí. Estos son:
a) Convencionalmente se ha dicho
que una ecuación no puede ser considerada como una proposición por la
"sencilla" razón de que en ella, así como se nos presenta, no puede
determinarse su valor de verdadero o falso pues se desconoce el valor (numérico) de la variable
indeterminada que encontramos, al menos, en uno de los términos igualados de la
ecuación, lo cual nos impide determinar, también, el valor veritativo de la
ecuación, esto es, si es verdadera o falsa, con lo cual la expresión algebraica
queda en el limbo, constituyéndose así como un enunciado abierto o pseudo-proposición.
Mas, creemos, esta explicación ha quedado desuetuda y desvirtuada con la
evolución actual de la definición del término proposición.
En efecto. No olvidemos que la proposición,
modernamente, debe ser concebida como una "aseveración
o sentencia, y no enunciado exclamativo ni expresivo, que afirma o que niega
algo de alguien o de algo y que, con sentido, puede ser verdadera o
falsa".
Para entender mejor esta definición, partamos del
siguiente ejemplo:
( x
+ 3 )
----------- = 9
3
·
¿Afirma o niega algo esta expresión?
Respuesta.- Claro que sí. La ecuación nos afirma que el
término o relación [ ( x +3 ) / 3 ]
es igual a 9.
·
¿Significa algo esta ecuación? Mejor aún, ¿tiene sentido dicha expresión
algebraica?
Respuesta.- La respuesta es obvia: ¡claro que sí! Es más, toda
ecuación tiene un sentido matemático y, por tanto y en última instancia, tiene
pleno sentido lógico pues la lógica subyace a la matemática, a tal extremo que,
inclusive, bien podríamos decir hoy, sin temor a equivocarnos, la matemática
toda, en conjunto, forma un capítulo de la lógica.
·
Esta ecuación, ¿es verdadera o falsa?
Respuesta.- Si afirmamos que la antedicha expresión algebraica
significa algo, o sea, que tiene sentido, claro está que ella puede ser
verdadera o falsa y no puede quedar, jamás, en el limbo, pues el valor
veritativo de esta expresión matemática, al ser una expresión significativa
abstracta de la realidad objetiva, viene
determinada por su sentido lógico-matemático.
Cierto es que la variable indeterminada x, en este momento, es desconocida,
pero, seamos claros: cuando se nos presenta una ecuación cualesquiera, no se
nos la da para emitir juicios de valor de ella, o para fotografiarla o para
cuestionarnos sobre nuestra vida; ¡no!, cuando se nos plantea una ecuación se
nos la da para ¡resolverla! y no
para asunto distinto. En esta medida, al vernos obligados a operacionalizar con ella, es evidente que llegaremos a
determinar el valor numérico de la variable indeterminada x, la cual no puede
representar a una bicicleta, a un seviche, o a una montaña, sino que siempre, absolutamente siempre en estos
casos, representará a un valor numérico y no a otra cosa distinta. Esto es a lo
que, creemos, hace referencia, en otra forma pero con el mismo espíritu al
final, el profesor José Santiváñez Marín al decir que la proposición es una
enunciación cuya verdad "debe demostrarse",
tema explicado suficientemente en la tratativa de las proposiciones hipotéticas
que ya diéramos anteriormente.
Ahora bien, al determinar el valor numérico de la
variable indeterminada, se desvela el "misterio" valorativo de la ecuación: ya es verdadera,
ya es falsa, la tal igualdad, si alcanzamos o no el valor numérico correcto.
Además, de cualquier forma, y en sentido a priori, por la gran amplitud
operacional que nos brinda la matemática a través de sus representaciones
numéricas decimales y demás, la igualdad siempre y siempre será alcanzada; de
lo cual, al final de cuentas, aún cuando no operacionalicemos la ecuación con
el objetivo de alcanzar el valor numérico indeterminado –aunque esto último
queda ya para el ámbito de la Filosofía de la Matemática, tema apartado del fin
buscado por el pragmatismo común que se espera obtener con la práctica
cotidiana de nuestras matemáticas–,
la ecuación siempre será verdadera
ya que es natural pensar que por su operacionalización estamos, también, obligados
a alcanzar el conjunto solución correcto y no así el incorrecto. Es sólo por
pragmatismo que buscamos el valor numérico correspondiente a la variable
indeterminada en cuestión. No olvidemos,
finalmente, que la matemática, por su alto grado de abstracción, puede hacer lo
que este mundo real no. Y sólo en el caso que al momento de operacionalizar la
ecuación seamos nosotros los que yerren en su contenido, o que asignemos a la
variable indeterminada un valor numérico cualesquiera y distinto al correcto, entonces
podremos decir que la ecuación es falsa, cosa que tampoco ocurre.
Algo más, seguir defendiendo la tesis que afirma que una ecuación no es
una proposición porque el valor real de la variable indeterminada x
no ha sido establecida plenamente, resulta tan absurdo como afirmar que el axioma de la recta no es un proposición
porque la esencia real del punto no ha
sido establecida. Esto último trasciende, como se ve, más que ingenuo,
tremendamente tozudo. Mas por el contrario, el axioma de la recta, que nos afirma que la recta es una sucesión infinita de puntos, sí
es una proposición, una proposición que no necesita ser demostrada porque ontológicamente es verdadera, pero
proposición al fin y al cabo; aún cuando el concepto real de punto, esencialmente hablando, no haya
sido establecido, es decir, sea desconocido.
Por demás queda claro que nadie se atrevería a sostener el argumento de
que el famoso axioma de la recta no
es una proposición porque la esencia y el
valor del punto son desconocidos. Hacerlo sería ya de zamugo y de kamikase.
La validez y universalidad de la acepción de proposición matemática de
este caso es ergo omnes, para todo y
para todos y, por ello mismo, aplicable a la ecuación.
Por tanto, por tener sentido lógico al afirmar una
relación de igualdad, y, por esto mismo,
ser una expresión que puede ser verdadera o falsa y no quedar valorativamente
como una "expresión límbica",
como primera conclusión, afirmamos que la ecuación sí es una proposición.
b) Ya hemos entendido a la
ecuación, en palabras sencillas, como una igualdad de dos expresiones
algebraicas, esto es, como la comparación de dos expresiones A y B que tienen
el mismo valor ( A = B ).
Si la ecuación es una afirmada igualdad de términos o
expresiones algebraicas –como bien decíamos en la conclusión anterior–, claro
está que nos encontramos frente a no otra cosa más que una estricta relación de
términos, una relación de igualdad, para ser más exactos. Como tal, en
consecuencia, debemos asentir que al hablar de una ecuación hablamos, en el
fondo de su esencia, de una proposición atómica relacional, donde los términos
o relaciones algebraicas de la ecuación, en este caso las expresiones [ ( x
+ 3 ) / 3 ] y 9, se hallan relacionadas por el
signo lógico-matemático de la igualdad ( = ).
Esta proposición atómica relacional matemática
deviene de un juicio que se comprende así porque existe el calificativo de la
relación de igualdad. Si este calificativo no existiese, los términos de la
ecuación no pasarían de ser meros términos que vendrían a ser expresión de
conceptos mentales que no llegarían a referir nada más que eso. La ecuación, si
se la entiende así, es una proposición atómica que, por tanto, no admite
descomposición, como bien afirmaban Russell y Wittgenstein sobre lo acotado. Si
así fuere, las ecuaciones no pasarían de ser un mero concepto, no diferente de,
por ejemplo, los conceptos no relacionados 5,
6 ó 7; y, en consecuencia, dejarían de ser ecuaciones.
Pero observamos que una ecuación no se queda en el
estadío conceptual sino que, más bien, por relacionar conceptos individuales a
través del término relacional de igualdad, se eleva hasta el rango del juicio,
segunda forma del pensamiento humano, que afirma algo; y, en el caso que nos
atañe, afirma la igualdad de los términos antedichos.
Además, como ya habíamos explicado antes, aunque en
forma inversa, pero bien ya sabemos, todo juicio deviene proposición. La
ecuación algebraica es un juicio que no escapa a esta ley.
Por consiguiente, al determinar a la ecuación como
una proposición atómica relacional, concluimos también, y de modo final, que la
ecuación sí es una proposición.
Al demostrar entonces el carácter proposicional de la
ecuación, verificamos que, con el actual desarrollo de la ciencia lógica y de
la ciencia matemática, resulta anacrónico, antidialéctico y hasta retrógrado
seguir negando la real dimensión de contenido que encierra una ecuación. La
calidad de proposición de ésta no sólo eleva nuestra comprensión y nuestras
comprehensión de la matemática, sino que, fundamentalmente, eleva nuestro
entendimiento lógico de la matemática, que nos lleva a considerar la también
cabal aprehensión –en el sentido lato de la palabra, otra vez– de un mundo
ideal que resulta de la misma comprensión del mundo objetivo y concreto, como
lo es éste.
En definitiva, queda claro, una vez más, que la
filosofía y la matemática no están, no estuvieron y no estarán divorciadas
jamás. Y ello porque la lógica se cobija en el regazo de la filosofía.
Entendido el tema así, bien podemos decir que el sentido iluminador de la
matemática, por ser lógica, lo proporciona la misma filosofía. Negarlo
significaría negar la esencia de la propia matemática, en su dimensión
aritmética, algebraica, geométrica y trigonométrica.
Y si la lógica alberga como conjunto universal a la
matemática, por lo anterior y por simple
deducción de un silogismo hipotético puro, concluimos afirmando, a despecho del
desorientado “matemático”
instrumentalizador, que la filosofía contiene en su seno mismo a la matemática.
¡Nos guste o no! ¡Scientia dixi!
¡Nos guste o no! ¡Scientia dixi!
[2] Coordinador General del Área de Filosofía y Lógica del Centro de Estudios Preuniversitarios de la Universidad Nacional del Centro del Perú.
[3] Loc. lat.: “La experiencia es la mejor de las maestras”.
[4] Ludwig
Wittgenstein, discípulo y amigo personal de Bertrand Russell, en su obra Tractatus... expuso el pensamiento de su
primera época, en el que profundiza los planteamientos de su maestro. Traducida
del latín al castellano, el título de la obra significa Tratado lógico-filosófico.
[5] Alemán:
Círculo de Viena. Entre los años 1920 y 1930, y al rededor del profesor de Filosofía de la
Universidad de Viena, Moritz Schlick, se congregó un grupo de lógicos,
matemáticos, físicos, teóricos de la ciencia, filósofos, juristas, entre otros,
que se reunían periódicamente para tratar temas de interés común. Algunos de
los nombres más significativos del grupo fueron Carnap, Hahn, Neurath, etc. En
el año 1929 publicaron un manifiesto, "La
concepción científica del mundo, el Círculo
de Viena", en el que dieron a conocer a la opinión pública los
principales problemas con los que trataban de enfrentarse y los principios de
solución de los mismos. En el mismo manifiesto reconocían la influencia en su
forma de pensar del Tractatus
logico-philosohicus de Wittgenstein, autor con el que muchos de ellos
mantuvieron relaciones, aunque nunca llegó a pertenecer al Círculo,
convirtiéndose en una especie de guía
del mismo. El Círculo de Viena
organizó una serie de congresos en diversas capitales europeas: París, Praga,
Könisberg, entre otras, y a través de ellos entró en contacto con nuevos
científicos, adquiriendo cada vez mayor notoriedad y prestigio. Sin embargo,
estallada la Segunda Gran Guerra Imperialista, hacia 1940, el grupo se disolvió
y sus supervivientes se diseminaron por diversos países, sobre todo por Estados
Unidos. Las razones de la disolución del grupo fueron múltiples, siendo las más
importantes la ascensión del nazismo en Alemania y Austria (anexada ya a
Alemania) y la situación política europea en general.
